Bienvenue dans cette première semaine, qui traite de la statistique descriptive.
Nous allons exposer des méthodes
permettant de décrire et de résumer des données souvent nombreuses.
Une étude statistique comprend des tris de données,
la mise en place de tableaux,
le calcul de paramètres, tels la moyenne et l'écart-type
et la construction de graphiques variés.
Dans cette première vidéo,
nous aborderons les généralités,
en premier lieu, le vocabulaire de la statistique,
notamment les variables statistiques,
nous poursuivrons par la loi d'une variable quantitative,
enfin, nous présenterons les grandeurs statistiques usuelles.
Voyons les généralités.
En statistique,
on étudie des individus qui seront notés omega_i
L'ensemble des individus étudiés s'appelle la population.
Elle se note grand omega.
Cardinal de grand omega
désigne la taille ou l'effectif de la population omega.
Un individu est décrit par un ensemble de caractéristiques
appelés variables ou caractères.
Une variable statistique, appelée aussi caractère,
est souvent notée X.
Prenons l'exemple portant sur l'étude du nombre
de pannes par jour observées pendant les 30 jours d'un mois donné.
Dans cet exemple, la population est constituée des jours du mois considéré.
La variable étudiée est le nombre de pannes observées pendant une journée.
Admettons que X prenne les valeurs :
0, 1, 2 et 3.
Un recensement des pannes selon les jours de la semaine
a permis d'élaborer le tableau suivant.
Une valeur prise par x est notée : x_i
On note n_i le nombre d'occurences de x_i dans toute la population.
n_i est l'effectif de la sous-population
correspondant à la modalité x_i.
La fréquence correspondante est :
f_i = n_i / n
On présente souvent les fréquences sous la forme de pourcentages.
Nous pouvons représenter les effectifs
ou les fréquences par un diagramme à bâtons ou à barres.
L'effectif ou la fréquence correspondant à chaque valeur du caractère
est représentée par la longueur d'un segment
ou la longueur d'un rectangle de largeur constante.
On peut aussi représenter les données à l'aide d'un diagramme circulaire.
Dans ce cas, chaque valeur ou classe
est représentée par un secteur angulaire
dont l'angle est proportionnel à l'effectif la fréquence.
Chaque individu d'une population est décrit par un ensemble de caractéristiques
appelés variables ou caractères.
On distingue les caractères qualitatifs, par exemple
être défectueux ou non pour une pièce fabriquée en série.
des caractères quantitatifs,
par exemple, la taille, le poids, le volume,
la durée de vie, pour une ampoule électrique.
Un caractère est discret
si on observe un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs.
Par exemple, le nombre de défauts observés sur les individus
est un caractère discret.
Une variable est continue si ses valeurs possibles constituent un intervalle de R.
Par exemple, la taille d'une pièce produite
ou la durée de vie, sont des caractères continus.
Dans ce cas, il est fréquent de diviser la population en classes
selon les intervalles de valeurs prises par la variable.
Nous allons aborder la loi d'une variable quantitative.
La loi aux distributions empiriques d'une variable X sur une population
est la donnée de la fréquence de chaque classe définie par la variable X.
Si X est qualitative ou quantitative discrète
sa loi est définie par la fréquence de chaque population du type X=x_i
Ainsi, dans l'exemple du nombre de pannes par jour,
la loi de X est définie par le tableau des fréquences.
Dans le cas d'une variable continue,
et si les valeurs de X sont réparties
en classes C_i
la loi empirique de X est donnée par la fréquence de chaque population
X appartient à C_i
On représente alors graphiquement les fréquences sous la forme d'un histogramme,
comme dans l'exemple de l'étude de diamètres d'axes de roues,
détaillé dans le poly de cours.
La fonction de répartition de X
notée F_x
est la fonction qui à x
associe la fréquence de la sous-population
X <= x
La fonction de répartition est croissante.
De limite 0 en - l'infini
et 1 en + l'infini
On peut donner l'allure du graphe
dans le cas de l'exemple précédent.
Nous allons maintenant définir les grandeurs statistiques usuelles.
Il est d'usage de résumer les n valeurs d'une série de données
par des caractéristiques simples.
On définit d'abord les paramètres de position qui sont :
la moyenne,
facile à calculer, elle est sensible aux valeurs extrêmes.
On dit qu'elle est peu robuste.
La médiane est une valeur divisant l'ensemble des observations
en 2 sous-ensembles d'effectifs égaux.
Elle est plus robuste que la moyenne,
c'est-à-dire moins sensible aux valeurs extrêmes.
Les quantiles d'ordre p,
divisent l'ensemble des observations
en p sous-ensembles de mêmes effectifs.
Si p = 4, on obtient les quartiles.
Si p = 10, les déciles.
Les paramètres de position
ne suffisent pas pour mener à bien une étude statistique.
On définit les paramètres de dispersion
qui permettent de mesurer l'étalement des données.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
Elle est facile à calculer mais instable.
La variance,
est égale à la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne
on démontre qu'elle est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.
L'écart-type est la racine carrée de la variance.
Enfin la distance inter-quartile
est la différence entre le 3e et le 1er quartile.
Pour synthétiser les données,
on utilise des représentations graphiques
telles que les boites à moustaches
appelées aussi box plots.
Pour les obtenir, on place d'abord la médiane,
puis on construit un rectangle dont la longueur est égale à la distance inter-quartiles.
Les moustaches s'étendent de part et d'autre de la boîte.
Leurs extrémités correspondent au premier et dernier déciles.
Ce type de diagramme
permet de comparer aisément des séries de données.
Je vous remercie de votre attention,
dans une prochaine vidéo,
nous aborderons l'étude des séries statistiques à 2 variables.