La physique des pâtes

Texte de la 592 e conférence de l'Université de tous les savoirs prononcée le 14 juillet 2005

Par Philippe Coussot: « La physique des pâtes »

Introduction

On a l'habitude de distinguer deux principaux états de la matière « dense » : les solides et les gaz et les liquides. Dans les deux cas les molécules sont très proches les unes des autres mais si les solides ont une structure moléculaire ordonnée relativement peu déformable, les liquides ont une structure désordonnée qui se déforme dès qu'on lui applique un effort aussi faible soit-il. Localement chaque molécule d'un liquide est relativement agitée par rapport à ses voisines, ce qui explique qu'un petit apport d'énergie puisse facilement déstabiliser le système. Les liquides sont ainsi bien connus pour prendre la forme du récipient dans lequel on les a placés. Les verres sont quant à eux dans une sorte d'état liquide particulier pour lequel cette agitation naturelle devient de plus en plus faible, si bien que le matériau ne peut s'écouler qu'au prix d'un apport d'énergie considérable.

A coté de ces matériaux « simples » on trouve un ensemble assez vaste de matériaux au comportement intermédiaire, les milieux pâteux, qui empruntent leur propriétés en partie aux solides et en partie aux liquides. Ce sont par exemple les mousses, les gels, les crèmes, les compotes, les purées, les sauces (vinaigrette, mayonnaise, ketchup,...), le chocolat fondu, les boues de forage, les peintures, ciments, bétons, bitume, ainsi que les très nombreuses pâtes utilisées dans l'industrie pour la fabrication et la mise en forme de produits particuliers (biscuits, céramiques, ...). Le point commun des tous ces matériaux est qu'ils ne sont capables de s'écouler inexorablement (donc de devenir « liquide ») que lorsqu'on leur applique un effort suffisant (critique), sinon ils restent « solides ». Souvent cet effort critique est supérieur à celui résultant de la gravité, si bien que ces matériaux ne prennent en général pas la forme du récipient dans lequel on les a versés, ils restent dans leur état solide et conservent leur forme initiale. En pratique nous utilisons cette propriété tous les jours sans nous en rendre compte :

• - durant le rasage la mousse à raser ne s'écoule pas le long du visage;
• - bien avant de sécher la peinture, liquide lors de son étalement, se fige sur le mur vertical;
• - le trou creusé dans la purée pour recevoir la sauce ne s'effondre pas;
• - la pâte à modeler conserve la forme qu'on lui a donnée;
• - le masque de boue reste figé sur le visage,...

Structure interne des pâtes

Les matériaux pâteux ont des structures internes très variées mais de façon générale ils sont constitués d'objets d'une taille très largement supérieure à celle d'une molécule simple, ce qui induit des interactions entre ces objets plus complexes. Il en est ainsi des matériaux polymères composés de longues chaînes qui s'enchevêtrent les unes dans les autres pour former une sorte de plat de spaghettis. Un polymère fondu ou en suspension dans un liquide a un comportement qui résulte des propriétés spécifiques des chaînes, notamment de leur capacité à se déformer de manière essentiellement élastique, comme un ressort, et de leur propriétés collectives, et notamment de leur capacité à glisser les unes par rapport aux autres plus ou moins rapidement. Ces matériaux ont finalement un comportement viscoélastique : lorsqu'on les sollicite rapidement ils réagissent comme un solide élastique dont les déformations résultent principalement de l'étirement ou de la compression de chacune des chaînes de polymère ; lorsqu'on les sollicite lentement ils s'écoulent comme des liquides simples grâce aux mouvements relatifs des chaînes. En pratique les polymères dans cet état pâteux ne sont pratiquement utilisés que dans les étapes intermédiaires (mélanges, mise en forme) de la fabrication des « matières plastiques » (bouteilles, voitures, jouets, etc) qui sont la plupart du temps utilisés par le consommateur sous forme solide. Pour en arriver là on rigidifie le réseau de polymères par un procédé appelé « vulcanisation », qui consiste à établir des liens résistants entre chaînes voisines par l'intermédiaire d'atomes de soufre. Ces matériaux conservent néanmoins des propriétés élastiques résultant de la capacité du réseau de chaînes à se déformer de manière réversible du fait de la déformation de chaque chaîne, propriétés qui sont mises à profit dans de nombreuses situations pratiques : câbles en caoutchouc, balles, pneus, etc. Les matériaux à base de polymères ont fait l'objet de nombreux travaux durant les soixante dernières années, qui ont permis d'établir des principes assez puissants reliant les propriétés physiques des chaînes et les propriétés mécaniques du mélange [1-2][1] . On peut également former des gels de polymères, au sein desquels les chaînes se repoussent tout en englobant des volumes d'eau. Le matériau résultant est une sorte d'empilement de « blobs » aqueux mous, qui a l'aspect d'une « bonne pâte ». L'exemple typique dans ce domaine est le gel pour les cheveux.

On trouve ensuite les colloïdes, composés de très petites particules (d'un diamètre compris entre 1 nanomètre et 1 micromètre) en suspension dans un liquide. Ces particules développent divers types d'interactions mutuelles à distance à travers le liquide : pour simplifier on peut retenir qu'elles sont en général attirées les unes vers les autres par les forces dites de van der Waals, et qu'elles se repoussent par le biais de forces de type électrostatique à cause des ions adsorbés à leur surface ou de forces stériques (résultant de l'encombrement) à cause de molécules adsorbées à leur surface. Un colloïde est stable lorsque les forces de répulsion sont capables d'éviter que les forces d'attraction ne conduisent à l'agrégation des particules entre elles. Le colloïde naturel typique est l'argile, mais d'autres types de colloïdes artificiels sont désormais utilisés couramment dans l'industrie (billes de latex, de silice) dans l'industrie chimique (notamment les peintures) mais également en cosmétique (dentifrice, gels).

Les mousses ou les émulsions forment une autre grande classe de matériaux pâteux. Elles sont composées d'un grand nombre de bulles (mousses) ou de gouttes (émulsions) en suspension dans un liquide. Ces objets ne développent pas ou peu d'interactions colloïdales mais interagissent lorsqu'ils sont en contact : on peut écraser deux bulles (ou deux gouttes) l'une contre l'autre en fournissant un effort suffisant ; lorsqu'on relâche cet effort les bulles reprennent leur forme initiale sphérique. Dans ce processus ce sont les interfaces bulle-liquide ou goutte-liquide ambiant qui jouent un rôle primordial. En effet une certaine énergie, proportionnelle à l'étendue de la surface correspondante, est associée à l'interface entre deux matériaux différents, c'est ce qu'on appelle l'énergie superficielle. Lorsqu'on déforme une bulle à partir de sa forme d'équilibre sphérique, on augmente la surface de l'interface et l'effort à appliquer est associé au gain d'énergie de surface. Comme cette déformation est réversible l'interaction entre deux bulles est essentiellement de nature élastique.

Les matériaux granulaires, composés par l'empilement d'un grand nombre de grosses particules (typiquement d'un diamètre supérieur à une dizaine de microns), sont également un genre de matière intermédiaire. Dans ce cas les particules sont en contact les unes avec les autres et peuvent se frotter ou s'entrechoquer. Un tas de sable ou une poudre passe ainsi plus ou moins brutalement d'un état solide à un état liquide lorsqu'on l'agite suffisamment. Cependant ces matériaux ont des propriétés qui les distinguent des autres types de pâtes évoquées plus haut, et qui résultent d'une part de l'absence de cohésion entre les grains, qui autorise des dilatations quelconques, et d'autre part de la très forte non-linéarité des interactions : dès que les grains solides sont en contact la force à appliquer pour les rapprocher un peu plus, quitte à les déformer quelque peu, diverge. Du coup un tas de sable peut supporter des contraintes normales très élevées sans se déformer significativement, mais il peut également s'écouler facilement si on leur applique un effort tangentiel [3][2].

Les différents matériaux pâteux passés en revue ci-dessus (gels de polymères, colloïdes, mousses, émulsions), ou encore les matériaux granulaires, sont les ingrédients de base des pâtes naturelles ou industrielles, souvent beaucoup plus compliquées car composées de plusieurs types d'éléments dont les interactions mutuelles sont mal définies. Il n'en reste pas moins que ces divers matériaux ont un point commun fondamental du point de vue physique : du fait des interactions multiples que subissent chacun de leur élément de la part de ses voisins, celui-ci est pratiquement coincé dans cette position et ne peut en sortir que si on lui fournit une énergie suffisante. Ceci explique le caractère solide de ces matériaux en l'absence de sollicitations suffisamment fortes : la structure de la pâte ne peut se déformer que marginalement. En revanche, lorsqu'on lui applique une sollicitation suffisante, la structure se brise et le matériau peut s'écouler. Il est donc tentant d'appeler ces matériaux des « liquides coincés ». En fait les propriétés mécaniques des matériaux pâteux sont étudiées depuis les années 1920, lorsque E.C. Bingham a remarqué cette dualité de comportement dans des peintures [4][3]. Mais la similitude de certaines des propriétés physiques de systèmes coincés (ou Jammed systems en anglais) est apparue plus récemment et a conduit les physiciens à s'intéresser de plus près à ce qu'ils sont tentés de considérer comme un quatrième état de la matière [5][4]. En parallèle la physique des milieux granulaires, qui avait suivi les travaux sur la matière molle, s'étaient développée dès le début des années 1980. Les questions fondamentales qui se posent vis à vis de ces systèmes coincés sont par exemple : est-il nécessaire et possible de mettre en place une thermodynamique spécifique ?, Quelles sont les origines microscopiques des comportements observés ? La réponse à ces questions fournira un cadre solide pour la formulation de matériaux industriels innovants (plus légers, plus robustes, contenant moins de produits nocifs, etc). Mais pour l'instant les recherches ont du mal à sortir de la spécificité microscopique de chaque matériau et finalement, même si les résultats ne permettent pas de répondre aux questions ci-dessus, c'est principalement au niveau mécanique que les similitudes de comportement sont pour l'instant les plus claires [6].

Rhéophysique des pâtes

Revenons d'abord aux propriétés de base des pâtes telles qu'elles peuvent être expliquées par les interactions entre éléments. Lorsque la pâte est macroscopiquement au repos, localement chaque élément se trouve comme au fond d'un puits d'énergie potentielle résultant des diverses forces d'interaction qu'il développe avec ses voisins (voir Figure 1). Lorsqu'on applique un effort à cet élément, celui-ci tend à se déplacer par rapport à ses voisins, ce qui lui donne une énergie potentielle supplémentaire, il « grimpe le long de son puits de potentiel ». Si on relâche l'effort l'élément retombe au fond de son puits. A l'issue de ce processus l'arrangement des éléments (autrement dit la structure interne de la pâte) n'est donc pas modifié, comme dans un solide. Le processus est donc principalement élastique, mais il y a aussi des dissipations visqueuses résultant du mouvement relatif du liquide ambiant et des éléments. Au final, dans ce régime, la pâte a un comportement de solide viscoélatique. Lorsque l'effort appliqué est suffisant l'élément peut franchir la barrière de potentiel qui l'entoure. La structure solide est donc brisée et si l'effort est maintenu on peut supposer qu'il permettra en moyenne tout le temps à d'autres éléments de sortir de leur puits de potentiel, plus ou moins successivement. Le matériau est dans son régime liquide, il coule inexorablement sous l'action d'une sollicitation maintenue.

En fait il s'ajoute à cela une complication : l'arrangement formé par l'ensemble des éléments du fluide, qui constituent un système extrêmement complexe, n'a que peu de chances d'être optimal dès que l'on met le matériau au repos ; les éléments de la pâte étant assez petits bougent les uns par rapport aux autres par mouvement brownien (résultant de l'agitation thermique du liquide ambiant) et sous l'action des forces d'interaction avec les autres éléments. On dit que le système vieillit ; mais ce vieillissement est réversible. Le résultat au niveau local est que la profondeur du puits de potentiel dans lequel se trouve l'élément augmente au cours du temps quand le fluide est au repos, ce qui implique que la viscosité apparente du matériau augmente. On peut cependant rajeunir le matériau en mélangeant à nouveau les éléments, ce qui permet de diminuer la profondeur des puits de potentiel, la viscosité du matériau décroît alors pendant l'écoulement. En mécanique on a donné à ce phénomène le nom de thixotropie.

Figure 1 : Schéma conceptuel des interactions au sein d'une pâte : tout se passe comme si chaque élément était pris dans un puits de potentiel résultant des interactions avec ses voisins. Différents régimes d'écoulement résultent de différents types de déplacement relatifs des éléments (voir texte).

Caractérisation mécanique

Compte tenu de ce qui vient d'être dit une caractéristique mécanique essentielle des pâtes est leur « seuil de contrainte » ( ), c'est-à-dire une force par unité de surface associée à l'énergie moyenne nécessaire pour faire sortir les éléments de leur puits de potentiel. Lorsqu'on connaît ce paramètre on est en effet capable (en principe) de prédire les conditions de début d'écoulement ou d'arrêt du matériau. On est également capable d'estimer grossièrement les dissipations d'énergie au sein de divers types d'écoulement dans le régime pâteux (pour lequel prédominent les interactions entre les éléments du matériau) car la viscosité apparente du matériau vaut alors en première approximation , où est le gradient de vitesse, autrement dit la variation spatiale de la vitesse dans le fluide. Il existe de nombreux moyens pratiques d'estimer le seuil de contrainte d'un matériau pâteux, qui s'appuient justement sur le fait que ce seuil caractérise la transition entre le régime solide et le régime liquide et, à condition que le champ de contraintes soit suffisamment simple, on peut relier directement le seuil à la contrainte maximum atteinte lors de l'arrêt ou le début d'écoulement du matériau [6][5] . Quelques-unes des techniques pratiques correspondantes sont présentées en Figure 2. On peut constater que paradoxalement, cette matière intermédiaire qui a des propriétés complexes, peut être caractérisée (en première approximation) plus simplement qu'un fluide newtonien.

Figure 2 : Tests de rhéométrie pratique pour des matériaux pâteux : (a) Consistomètre (agro-alimentaire) ou « L-box » (béton) ; (b) Test d'affaissement (ou « slump test »), on mesure la hauteur d'affaissement ou la largeur d'étalement selon la consistance de la pâte ; (c) Alvéographe ou Bulle de Chopin (agro-alimentaire), on observe la force en fonction du volume injecté ; (d) Test d'écrasement (ou « squeeze-test ») ; (e) Pénétromètre.

Instabilité hydrodynamique à vitesse nulle

Comme la viscosité apparente des pâtes tend vers l'infini lorsque la contrainte tend , les instabilités hydrodynamiques qui se développent habituellement à l'interface de fluides simples lorsque la viscosité de l'un d'entre eux devient suffisamment grande peuvent se développer « à vitesse nulle » avec des pâtes. C'est notamment le cas de l'instabilité d'un jet de pâte sous l'action de la gravité ou encore de l'instabilité de Saffman-Taylor. Dans ce dernier cas par exemple l'instabilité se produit lorsque lorsqu'on pousse un fluide visqueux avec un fluide moins visqueux et conduit à la formation de doigts de fluide peu visqueux qui pénètrent dans le fluide visqueux. Deux types d'énergie sont alors en jeu : l'énergie de surface associée à l'interface entre les deux fluides et l'énergie visqueuse associée à l'écoulement induit. Lorsque l'énergie de surface est suffisamment grande devant l'énergie visqueuse elle maintient l'interface droite, dans le cas contraire le fluide préfère former des chenaux préférentiels de circulation, les doigts. Pour des fluides simples (newtoniens par exemple) la longueur d'onde associée à l'écartement de ces doigts diminue avec la vitesse moyenne d'avancement de l'interface si bien que l'instabilité n'apparaît en pratique que lorsque la largeur du front est suffisamment grande [7][6] .

Figure 3 : Aspect d'une couche de pâte après séparation des plans solides entre lesquels elle se trouvait initialement.

Dans le cas d'une pâte cette longueur d'onde tend vers une valeur finie à vitesse nulle, si bien que pour une interface suffisamment large l'instabilité hydrodynamique peut apparaître quelle que soit la vitesse [8][7] . C'est une instabilité de ce type qui régit les digitations observées lors de la séparation de deux plaques solides initialement en contact par le biais d'une fine couche de pâte (peinture, colle, purée, etc) (voir Figure 3), puisque tant que l'épaisseur de matériau est faible cette séparation implique principalement une entrée d'air et un mouvement radial vers l'intérieur de la pâte.

Instabilité des écoulements pâteux aux faibles gradients de vitesse

En fait le modèle de fluide à seuil simple ne permet pas de représenter correctement la réalité aux faibles gradients de vitesse. Diverses expériences à contrainte imposée ont montré [9-11][8] que pour toutes sortes de matériaux pâteux et notamment des pâtes de ciment le matériau tend à s'arrêter complètement de couler en dessous d'une contrainte critique. Ceci apparaît en première approche cohérent avec le concept de seuil de contrainte. Cependant, pour une contrainte très légèrement ou plus largement supérieure à cette valeur critique, le matériau finit par couler relativement rapidement en régime permanent, à un gradient de vitesse apparent supérieur à une valeur critique , quel que soit le niveau de contrainte dans cette gamme. Avec Daniel Bonn, du Laboratoire de Physique Statistique de l'ENS nous avons appelé ce phénomène « bifurcation de viscosité ». Ainsi les pâtes s'avèrent incapables de s'écouler de manière stable à un gradient de vitesse inférieur à . Ceci implique que dans la plupart des écoulements de pâtes, celles-ci développent des régions rapidement cisaillées (de localisation) qui côtoient des régions rigides. Ainsi au sein d'un écoulement de pâte une phase liquide et une phase solide coexistent. Cette coexistence ne disparaît que pour des écoulements très rapides.

Le vieillissement

Il faut ajouter à cela les effets de vieillissement que nous avons évoqués plus haut et qui conduisent à une phénoménologie des écoulements assez complexes, notamment en termes de transition solide-liquide, qui peut être continue ou catastrophique. Prenons par exemple un barrage de boue d'argile placée au repos sur un plan incliné. Selon le temps de repos de cette argile avant l'ouverture du barrage (ou, de manière équivalente, la concentration solide de la suspension) on peut observer des écoulements très divers (voir Figure 4): pour de faibles temps de repos, le fluide s'écoule rapidement jusqu'au bout du canal comme un liquide peu visqueux ; pour des temps de repos plus élevés le matériau s'écoule d'abord rapidement puis s'arrête et forme un dépôt épais au milieu du canal, comme une pâte ordinaire ; pour de grands temps de repos le fluide ne démarre pas, il se comporte comme un solide qui se déforme quelque peu et finit par se fracturer légèrement. Entre les deux derniers régimes il existe aussi une situation où le matériau ne se met pas en mouvement avant une longue période puis brutalement se sépare en deux blocs, dont le premier glisse rapidement le long du canal. Cette dernière situation reproduit très bien à, petite échelle le phénomène de glissement de terrain. On constate alors que paradoxalement, dans certaines conditions, l'énergie cinétique globale d'un matériau pâteux laissé longtemps au repos peut être atteindre des valeurs beaucoup plus grandes qu'après un temps de repos court [12][9] . Il est également remarquable que l'on puisse obtenir, avec le même matériau, des mouvements correspondant aux divers états pratiques de la matière : liquide, pâte, solide, glissement de terrain. Ceci confirme le caractère intermédiaire de cette matière et laisse présager que nous avons beaucoup à apprendre dans ce domaine.

Figure 4 : Différents régimes d'écoulement d'une boue de bentonite (à différentes concentrations solides) laissée initialement au repos derrière un barrage sur un plan incliné.

[1] [1] J.D. Ferry, Viscoelastic properties of polymers (Wiley, New York, 1970)

[2] P.-G. de Gennes, Scaling concepts in polymer physics (Cornell University Press, Ithaca, 1979)

[2] [3] Duran

[3] [4] E.C. Bingham, Fluidity and plasticity (McGraw Hill, New York, 1922)

[4][5] A.J. Liu, and S.R. Nagel, Jamming and Rheology (Taylor and Francis, New York, 2001).

[5] [6] P. Coussot, Rheometry of pastes, suspensions and granular materials (Wiley, New York, 2005).

[6] [7] P.G. Saffman and G. Taylor, Proc. R. Soc. Lond. A245, 312 (1958)

[7] [8] P. Coussot, J. Fluid Mech., 380, 363 (1999)

[8][9] F. Pignon, A. Magnin, and J.M. Piau, J. Rheol., 40, 573 (1996)

[10] Coussot, P., Q.D. Nguyen, H.T. Huynh, and D. Bonn, Physical Review Letters, 88, 175501 (2002 b)

[11] Coussot, P., Raynaud, J.S., Bertrand, F., Moucheront, P., Guilbaud, J.P., Huynh, H.T., Jarny, S., and Lesueur, D. Physical Review Letters, 88, 218301 (2002)

[9] [12] Coussot, P., N. Roussel, S. Jarny, and H. Chanson, Physics of Fluids, 17, 011704 (2005)

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