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Stéphane Jaffard - Quelle est la régularité de la fonction de Brjuno ?


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Auteur(s) :
JAFFARD Stéphane

Producteur Canal-U :
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Stéphane Jaffard - Quelle est la régularité de la fonction de Brjuno ?

Introduite par J.-C. Yoccoz, la fonction de Brjuno fournit une information importante sur les problèmes de petits diviseurs analytiques. Elle semble ne posséder aucune régularite en un sens raisonnable: elle n'est nulle part localement bornée, et on ne peut donc même pas essayer de tracer son graphe. Cette question va cependant nous permettre de revisiter et de relier plusieurs domaines apparemment éloignés.

La recherche d'une notion de régularité ponctuelle adaptée à la fonction de Brjuno nous conduira aux travaux des années 1960 de Calderon et Zygmund concernant les EDP elliptiques: la notion de p-exposant qu'ils ont introduite permet en effet de ``mesurer '' cette régularité, qui s'avère elle-même extrêmement irrégulière, puisque qu'elle dépend des propriétés d'approximation diophantienne du point considéré. On parle alors de fonction multifractale: les ensembles des points présentant un exposant de régularité donnée sont fractals (au sens où leur dimension de Hausdorff est en général non entière).

Nous verrons que ce lien remarquable entre régularité ponctuelle et approximation diophantienne est partagé par de nombreuses fonctions: certaines séries de Fourier liées aux fonctions modulaires, dont l'exemple le plus simple est la ``fonction non-différentiable de Riemann'' ∑sin(πn2x)/n2, mais aussi les séries de Davenport ∑an{nx}, où {x}=x−[x]−1/2 est la ``fonction en dents de scie''.

L'exposé s'achèvera par l'évocation de quelques questions ouvertes: Y a-t-il plus que de simples analogies entre la fonction de Brjuno (et ses généralisations), certaines séries de Fourier remarquables et les séries de Davenport? L'étude de la fonction de Brjuno fournit-elle des éléments pour établir une classification des singularités ponctuelles des fonctions?

 

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