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Emmanuel Trelat - Analyse spectrale des Laplaciens sous-Riemanniens, mesure de Weyl

Dans une série de travaux avec Yves Colin de Verdière et Luc Hillairet, nous étudions les propriétés spectrales des Laplaciens sous-Riemanniens, qui sont des opérateurs hypoelliptiques. L'objectif principal est d'obtenir des résultats d'ergodicité quantique, ce que nous avons fait en géométrie de contact 3D.

Dans le cas général, nous étudions l'asymptotique en temps petit des noyaux de la chaleur en géométrie sous-Riemannienne. Nous démontrons  qu'elle  est donnée  par  le noyau de  la chaleur de la nilpotentisation.
Dans  le  cas  équirégulier,  nous  en  déduisons  la  loi  locale  puis  la  loi  microlocale  de  Weyl, mettant  en évidence  ce  qu'on  appelle  la  mesure  de  Weyl. Cette  mesure  co'incide  avec  la mesure de Popp en basse dimension, mais en est différente en général.  Nous montrons qu'il y a concentration spectrale sur le faisceau engendré par les crochets de longueur r-1, où r est le degré de nonholonomie.

Dans le cas singulier, nous étudions les cas de Martinet et de Grushin, obtenant en particulier un développement asymptotique à deux termes et la loi locale de Weyl.